includes bibliographies.

This study focuses on Chebyshev polynomials, a crucial class of mathematical functions with various applications in engineering, physics, and applied mathematics. The study begins with an introduction to Chebyshev polynomials and their definition. It then explores the key properties of these polynomials, such as their orthogonality and relationships between their degrees. The study covers the calculation of Chebyshev coefficients using numerical methods. It explains the use of orthogonality in integration and summation, along with applications in analyzing series based on these polynomials. The study further discusses important applications, such as using Chebyshev series in numerical methods, including numerical interpolation, numerical integration, and numerical differentiation. The study also outlines different methods for calculating series through recursion and numerical integration techniques.

تتناول هذه الدراسة موضوع المتعددات الحدودية لشيبشيف، والتي تمثل مجموعة مهمة من الدوال الرياضية ذات التطبيقات المتعددة في الهندسة والفيزياء والرياضيات التطبيقية. تبدأ الدراسة بتقديم مقدمة عن المتعددات الحدودية لشيبشيف وتعريفها. ثم يتم استعراض الخصائص الرئيسية لهذه المتعددات مثل الاستقلالية التامة والعلاقة بين درجاتها. كما يتم تناول حساب معاملات شيبشيف باستخدام الأساليب العددية. يتم شرح استخدام خاصية التوافق في التكامل والمجموعات، وتطبيقاتها في تحليل السلاسل التي تعتمد على هذه المتعددات. بعد ذلك، تستعرض الدراسة بعض التطبيقات المهمة مثل استخدام السلاسل الشيبشيفية في الحساب العددي، بما في ذلك الاستيفاء العددي والتكامل العددي والتفاضل العددي. تتضمن الدراسة أيضاً توضيح الأساليب المختلفة لحساب السلاسل باستخدام التكرار وتقنيات التكامل العددي.